Full text: Pädagogisches Archiv - 29.1887 (29)

 
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Der rechte Winkel wird dabei nicht mitgezählt, und wenn in der 
Gleichung eine Kathete vorkommt, ſo iſt an die Stelle der durch den 
Saß geforderten Funktion die betreffende Kofunktion zu ſeßen. 
Beweiſe der Gleichungen. Man kann zunächſt die in der 
Neperſchen Regel zuſammengefaßten Säße und dann die 4 Haupt- 
gleichungen für das ſchiefwinkelige Dreie> beweiſen, oder auch den ums- 
gekehrten Weg gehen und erſt dieſe 4 Hauptgleichungen ableiten. Die 
Gleichungen des Neperſchen Saßze8 ergeben ſich aus jenen dann einfach, 
indem man den betreffenden Winkel = R ſeht. E8 iſt dann allerdings 
eine gute Übung, die lehteren Säße auch noch direkt zu beweiſen. Hier 
ſchlage ich den zweiten Weg ein. 
Man kann die Beweiſe ſehr anſchaulich an dem Modell führen, 
- von dem Fig. 1 die perſpektiviſche Zeichnung iſt (MA iſt in dem von 
mir gebrauchten Modelle 10 cm lang) und das Modell etwa in der 
Weiſe benußen, daß man zunächſt die Beweiſe am Modelle durchnimmt, 
dann unter ſteter Bezugnahme auf das Modell an der nach demjelben 
angefertigten perſpektiviſchen Zeichnung und endlich an der Zeichnung 
allein. Statt des Modelles kann man ſich auch der Netze bedienen, 
welche entſtehen, indem man ſich die von C und K aus8gehenden Kanten 
aufgeſchnitten und die Dreiecke, welche C und K zur gemeinjamen Spiße 
haben, um ihre in der Ebene MA B gelegenen Seiten in dieſe Cbene 
herabjchlägt. 
Ableitung der Gleichung 1. Man nimmt K auf MG be- 
liebig und ſchneidet die Ee durch eine Ebene, welche durch K geht und 
auf M C ſenkrecht ſteht. Das Quadrat von NL drückt man dann auf 
zweierlei Weiſe aus und ſeßt die beiden Ausdrücke einander gleich. 
Werden dann alle in der Gleichung vorkommenden Liniengrößen durch M K 
und Winkelfunktionen ausgedrückt, ſo muß, weil M K willkürlich iſt, dieſe 
Größe aus der Gleichung verſchwinden. MN, ML 2c. find ebenſo gut 
willkürlich wie M K; man kann alſo auch jene Liniengrößen durh MN, 
ML 2c. ausSdrücen, was bei Wiederholungen als gute Übung zu em- 
pfehlen iſt. 
LN? = KN? +KL?-2KN. KLlLcosy. 
=mMN*?4+ML?-2MN. MLlcosc. 
KN? =MK?tg*?a 2c. 
tg*?a+tg*b--2tgatgb cos y = 
1 
cos *?a T 708 2b 
2 c08 € 
cos a cos b' 

	        

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