Full text: Zeitschrift für das Gesamtschulwesen : mit besonderer Rücksicht auf die Methodik des Unterrichts - 2.1850 (6)

110 II. Bücherſchau. 
entwickelte Gleichung [1] aufgeſtellt hat, ſagt einfach : „Nun ſei p ein un- 
endlich kleiner Bogen, ſo daß sin po=5 und cos5=4. Wenn alsdann n 
eine unendlich große Zahl bedeutet, ſo daß np ein endlicher Bogen ift, den 
, + X , 
wir =x ſeßen wollen, ſo iſt, weil dann 8in P==0=- iſt, cosx= u. ſw.“ 
Will man hier (was nach den heutigen Forderungen der Wiſſenſchaft aller- 
dings zu geſchehen hat) eine tiefere Begründung eintreten laſſen, ſo ſcheint 
die nachſtehende Erwägung nicht blos einfacher, ſondern auch lichtvoller zu 
ſein, als der von Fourcy eingeſchlagene Weg. " 
Bedeutet a eine unendlich kleine Zahl , ſo iſt bekanntlich (4Ta)v immer 
=-1, fo lange v, wenn auch ſehr groß, doh no< endlich iſt. Jene Po- 
tenz hat in der Regel einen von 1 verſchiedenen Werth, wenn v unendlich 
groß wird; ſie reducirt ſich aber ſelbſt in dieſem Falle wieder auf 4, ſobald 
a ein unendlich Kleines höherer Ordnung iſt. *) Daß nun coso für 
ein unendlich kleines 5 ſich von 4 nur um eine unendlich kleine Zahl zwei- 
ter Ordnung unterſcheiden könne, erſieht man unmittelbar daraus, daß 
cos p um ſo näher an den Werth 4--pÖ cos 'E 2) kommt , je kleiner 9 
wird ; und hieraus folgt, daß für lim. p=0 nicht nur [lim.cosp]*=41, 
. Sma CH , 9? ; 
ſondern auch [1im. > =4 ſei, indem (in -) ſtets zwiſchen den 
 
4 , , , , 
Grenzen 4" und (605.7) liegt. Damit iſt jede Bedenklichkeit auf eine eben 
ſo gründliche als virekte Weiſe gehoben. 
Wollte etwa Fourcy ein näheres Eingehen auf die verſchiedenen Ord- 
nungen unendlich kleiner Zahlen vermeiden, ſo konnte er das, was oben 
mit Hülfe des Ausdru>s 1-5 cos (=) gezeigt wurde , auch reingeo- 
metriſch erläutern, indem ex nur daran zu erinnern brauchte, daß bei ab- 
nehmenden Werthen von p die Länge R coso viel raſcher der Grenze R 
(oder cos p der Grenze 4) zuſtrebt, als p der Grenze 0, weßhalb es er- 
laubt ſein muß, den Coſinus eines unendlich kleinen Bogens nicht nur als 
unendlich nahe an 4 liegend , ſondern wirklich =1 anzunehmen, ſelbſt vem. 
unendlich großen Exponenten gegenüber, dur< welchen höchſtens noc< der 
unendlich kleine Unterſchied zwiſchen p und 0 Einfluß üben kann , nicht mehr 
äber eine Werthabweichung, die ſogar zu jenem Unterſchied kein Verhältniß 
*) Die Binomialreihe liefert 
1 ym 1 1« 1 1 - 2 1 
(E36) EF Oro) zmE 0) 03) zt 
1« - 2 3 1 
(1--) (1-<) (1--) - aL 
und für m= M: 
14 M 1 1 1 1 
(+75 AEF ZBL Im Tm Ln 
Dieſe Reihe kann alſo, je nach der Bedeutung von n, vo-rſchiedene Werthe 
ausdrüken. Sekt man nun aber auch n = qQp , ſo daß - ein unendlich 
Kleines zweiter Ordnung wird , ſo ergibt ſich 
(14-4) *=1.
	        

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