Full text: Zeitschrift für das Gesamtschulwesen : mit besonderer Rücksicht auf die Methodik des Unterrichts - 2.1850 (6)

II. Bücherſchau. 121 
in ein elementares Lehrbuch. Leichter zu überſehen iſt der in Holüßmanns 
Analyſis (44tes Buch) enthaltene ſchöne Beweis, welcher aber Begriffe aus 
der analytiſchen Geometrie des Raums zu Hülfe nimmt. Wünſcht ein 
Beſißer der Fourcy'ſchen Schrift, dem der darin aufgenommene Beweis 
zu verwickelt iſt, einen Erſaß dafür, der ganz an dieſelbe Stelle paßt, ſo 
möge er nach dem erſten der beiden Beweiſe greifen , wel<e Ullherr in 
Crelle's Journal (54ſter Band, 4846) veröffentlicht hat, und welche 
kürzer und klarer ſind als alle früheren. Der erſtere von beiden füllt nur 
eine Quartſeite und beruht auf den Anſchauungen der ebenen analytiſchen 
eometrie. *) 
indem man die Zahl r auf eine beſtimmte Längeneinheit bezieht. Die 
Summe mehrerer geometriſchen Quantitäten findet man, wenn man die 
einzelnen Quantitäten durch parallele Verſchiebung zu einer gebrochenen 
Linie aneinanderreiht und die Sehne dieſer leßtern zieht.“ Ferner ergeben ſich 
die Relationen : rp . r'p' = (rr')p+p'; (rp)m = (rm )Jpm. Hieraus folgt dann 
die Erklärung der Diſſerenz, des Quotienten, der Wurzel für geometriſche Quan- 
titäten , die Begriſſe entgegengeſeßter und reciproker geom, Quanti- 
täten u. ſ. f. Mit Hülfe dieſes neuen Algorithmus iſt Cauchy ini Staude, 
eine höhere Gleichung ſo zu behandeln, wie wenn es keinen Unterſchied zwiſchen 
imaginären und reellen Größen gäbe. Er denkt ſich die Gleichung unter 
der Form 
Ee) =4A,+B, 6) +0 (mr... R, (19)0 = Rp = 0, 
wobei die Exponenten 1, m, . . . , n eine wachſende Folge (oder, falls 
keine Potenz von Fp zwiſchen der erſten und nten fehlt, die Reihe der natür- 
lichen Zahlen) bilden, und bezeichnet dur< 9. eine Wurzel der Gleichung 
Ax + B, r,=0. Es wird nun bewieſen / daß , innerhalb gewiſſer Gren- 
zen für r , die Funktion k (7) ſtets einen Werth annehme, deſſen Modul R kleiner 
als A iſt, und daß man durch ſucceſſive Aenderung von r jenen Modul immer 
unendlich nahe an Null bringen, mithin einer Wurzel der Gleichung ſo nahe 
kommen kann als man nur will. Iſt & die Diſferenz zwiſchen der Veränder- 
lichen ro und der gefundenen Wurzel, ſo iſt Peine ganze Function(n-1)ten 
Grades von Py: Man ſindet alſo, durch wiederholte Anwendung des näm- 
lichen Verfahrens , eine zweite Wurzel der urſprünglichen Gleichung ; u. ſ. f. 
*) Für Leſer, denen Crelle's Journal nicht ſogleich zur Hand iſt, möge 
hier wenigſtens der Gedankengang dieſes Beweiſes angedeutet werden, -- 
Die ganze Function | 
X= xu - Axt! 4 Arzt 2 4, + An 
geht, wenn x==r (c08 9 + YV=1 Sin p) 
Ai === WU (co8-+ -1 8in oy) 
A, = 8, (co8a,4-V =-1 gin x) 
geſeßt wird , über in X=p + Vig, H 
wo ſowohl p als q eine Funktion von r und op iſt. Denkt man ſich p und 
q als rec<htwinkelige Coordinaten eines Punktes M, ſo wird dieſer Punkt , bei 
ſtetiger Aenderung von r und p, oder auch von po allein, ſeine Lage ſtetig 
ändern. Bei conſtantem r beſchreibt der Punkt M, während p ein Intervall 
von 27 durchläuft, eine in ſich zurückkehrende Curve; und wird dabei r ſehr 
groß angenommen, ſo zeigt ſich, daß die Curve den Urſprung O der Coordi- 
paten un mal umſchlingt. Dieſe Curve ſelbſt ändert ſich ſtetig, wenn man von 
jenem Werth r nach und nach auf kleinere Werthe übergeht , und reducirt ſich 
Pädag. Bierteljahrsſchrift. VU. 9
	        

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