Full text: Zeitschrift für das Gesamtschulwesen : mit besonderer Rücksicht auf die Methodik des Unterrichts - 2.1850 (6)

Ueber vie Begründung ver Elementar-Geometrie. 965 
Man findet zuweilen eine Unterſcheidung zwiſchen gerad- 
linigem Winkel und krummlinigem Winkel, Damit aber 
iſt der wahre Begriff des Winkels ſelbſt aufgehoben. Ein krumm- 
liniger Winkel exiſtirt niht, da bekanntlih mit dem Winkel, 
unter dem ſich zwei Curven ſc<neiden, der Winkel ihrer Tan- 
genten im Scnittpunkte gemeint iſt, 
6) „Parallel-Linien ſind ſol<e Gerade, welche 
gleiche Richtung haben (ohne zuſammenzufallen)“,. 
Sehen wir einſtweilen davon ab, daß Parallelen auch ent- 
gegengeſeßte Richtungen haben können , ſo paßt do< obiger 
Satz nicht als Erklärung. Er beruht auf einer durc< Abſtrac- 
tion gewonnenen Erweiterung des urſprünglichen Begriffs Rich - 
tung, welcher zunächſt an eine beſtimmte Gerade geknüpft 
war, Um zu jener Abſtraction zu gelangen, muß zuvor die 
Parallelentheorie abgethan ſein, 
Es läßt ſich nicht läugnen, daß obige Erklärung ſehr beſticht, 
da ſie , zuſammengeſtellt mit der richtigen Definition des Winkels, 
alle Schwierigkeiten der Parallelentheorie auf's Einfachſte und 
Natürlichſte zu heben ſcheint, Allein es bleibt beim Seine. 
Zu Anfang wiſſen wir blos, zwei Gerade haben verſchiedene 
Richtung, wenn ſie von einem Punkte ausgehen und nicht zu- 
ſammenfallen ; und ſie haben dieſelbe Richtung, wenn ſie auf- 
einanderfallen (und in einerlei Sinn betrachtet werden). Für 
die Verſchiedenheit oder Einerleiheit (Gleichheit) der Nichtungen 
zweier von verſchiedenen Punkten ausgehenden Geraden haben 
wir (vor der Parallelentheorie und den mit ihr zuſammen- 
hängenden Sätzen von den Dreie>swinkeln) gar kein unmittel- 
bares Kriterium jz wir ſchließen erſt mittelbar auf eine Rich- “ 
tungs-Verſc<iedenheit, wenn wir erfahren, daß die Linien 
ſich irgendwo ſchneiden , indem dann ihre weiteren Fortſetzungen 
(über den Schnitt hinaus) von einem Punkte ausgehen ohne 
zuſammenzufallen. Ob aber die Gleichheit der Richtungen 
gerade und au sſc<ließlich darin begründet iſt, daß die Linien 
fich nicht ſchneiden, bleibt unentſchieden, ſo lange nicht der Satz 
bewieſen werden kann, daß zwei Linien von verſchiedenen Nich- 
tungen (in der Ebene) ſich ſchneiden müſſen; und nicht nur 
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