Full text: Zeitschrift für das Gesamtschulwesen : mit besonderer Rücksicht auf die Methodik des Unterrichts - 2.1850 (6)

Ueber die Begründung der Elementat-Geometrie. 283 
jo würde dieſer entweder unterhalb oder oberhalb der Ebene 
liegen. Angenommen , er müſſe aus irgend einem Grunde un- 
terhalb fallen, d. i. auf einerlei Seite mit dex Axe, und man 
laſſe zuerſt MO als Are gelten. Vertauſ<ht man dann dieſe 
Are MO mit ihrer Rückverlängerung MQ, wodur< die Ebene 
die nämliche bleibt (22) , ſo würde der Punkt P, eben aus jenem 
Grunde, auf einerlei Seite mit MQ liegen , d. h. in Beziehung 
auf die erſtere Auffaſſung der Ebene oberhalb. Da aber der 
Punkt P nicht auf zwei verſchiedenen Seiten der Ebene zugleich 
liegen fann, und auch zwiſc<en den Punkten V., W nicht zwei 
verſchiedene Gerade möglich ſind (10), ſo muß die durch V und 
W gehende Gerade ganz in die Ebene ſelbſt fallen, 
Mithin laſſen ſim in einer Ebene unendlich viele gerade 
Linien ziehen, indem man auf unendlich viele Arten zwei belie- 
bige Punkte in der Chene wählen kann, 
24. Eine Gerade, welche nicht ganz in einer Ebene liegt, 
kann mit der Ebene nur einen Punkt gemein haben , oder die 
Ebene in nur einem Punkte ſ<neiden. Denn die Annahme 
eines zweiten gemeinſamen Punktes würde die Gerade ganz in 
die Ebene fallen laſſen. 
Es iſt aber auch möglich, daß eine unbegrenzte gerade Linie 
gar keinen Punkt mit einer Ebene gemein hat. 
25, Zwei Ebenen können ſehr wohl gar keinen ge- 
meinſ<aftlihen Punkt haben. 
Wenn zwei Ebenen zwei Punkte P, Q gemein haben, jo 
haben ſie auch alle übrigen Punkte der dur< P und Q gehen- 
den Geraden gemein. Denn dieſe Gerade muß ſowohl ganz in 
der erſten als ganz in der zweiten Ebene liegen (23). 
Haben zwei Ebenen drei Punkte P, Q, R, welche nicht in 
gerader Linie liegen , gemein, ſo fallen ſie ganz zuſammen. Denn 
ſie haben erſtlich die drei Geraden PQ, PR , RQ (unbegrenzt ge- 
dacht) gemein. Daher liegt ferner jede Gerade L, welche von 
einem der drei Punkte nac< einem betiebigen Punkte in der 
Verbindungslinie der beiden andern (oder in deren Verlängerung) 
gezogen wird , in beiden Chenen zugleich. Jeder beliebige Punkt T 
in der einen Ebene kann auf einer ſol<en Linie L gedacht wer- 
den, liegt folglich au< in der zweiten Chene,
	        

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.