Full text: Zeitschrift für das Gesamtschulwesen : mit besonderer Rücksicht auf die Methodik des Unterrichts - 2.1850 (6)

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Ueber die Begründung der Elementar-Geometrie. 303 
indem ſie zeigen, wie die Richtungen der einzelnen Umfangs- 
ſtüe, wenn man in einerlei Sinn um das ganze Polygon herum- 
geht, ſic< ſchrittweiſe ändern, Daß die Summe der Außen- 
winkel (auch bei Polygonen mit einſpringenden Een) immer 
einen vollen Winkel gibt, läßt ſich, mit Rüdſicht auf die ne- 
gativen Winkel, leiht zeigen. Schaltet man dann no< eine 
kurze Erläuterung über die Subtraktion negativer Winkel ein, 
ſo ergibt ſich in voller Allgemeinheit der Satz, daß im n-E> 
die innern Winkel zuſammen n--2 flache ausmachen *), Wird, 
wie es oft geſchieht, mit der Summe der innern Winkel ange- 
gefangen, ſo iſt gegen die gewöhnlichen Beweiſe mittelſt Zer- 
legung des Polygons in Dreie>e, entweder durc< Linien aus 
einem und demſelben E> oder aus einem innerhalb gewählten 
Punft, ſo lange nichts einzuwenden , als man ausdrülich ſagt, 
daß man ſich auf Polygone mit blos ausſpringenden E>en be- 
ſ<ränfen wolle, Fehlt dieſe Beſchränkung, ſo ſind beide Be- 
weisgarten nicht zu brauchen, und es bliebe dann nur der JIn- 
duftionsbeweis , wel<er von dem Satze ausgeht, daß die Summe 
der innern Winkel um einen fläßen wächst, wenn die Zahl der 
E>en um 1 zunimmt. Jedenfalls geſtaltet ſich die Deduktion 
nicht ſo leicht und natürlich, wie wenn die Summation der Außen- 
winkel vorherging. 
Nac< dieſer allgemeinen Betrachtung des Polygons wird 
nun auf die einfachſten Polygone, die Dreie>e, eingegangen. Die 
Eigenſchaften des gleichſchenfeligen Dreie>s ergeben ſich durch 
umgekehrtes Aufſichſelbſtlegen deſſelben (nach dem Vorgange von 
Nr. 21 der Einl,), In jedem Dreie> liegt der größern Seite 
der größere Winkel gegenüber (Beweis mittelſt des gleichſchen- 
feligen Dreie>s, mit Beziehung auf Nr. 1 und 5), In jedem 
Dreie> liegt dem größern Winkel die größere Seite gegenüber 
(Beweis indireftz ſie kann weder gleichgroß no< kleiner ſein). 
Mit Benüßung dieſes Satzes (und unter Beiziehung eines an- 
oder eingefügten gleichſchenkeligen Dreie>s) beweist man nun, 
*) Warum man ſo häufig dieſe Summe in rechten Winkeln angibt, 
wodurch die Formel unnöthig verwiFelt und unſchön wird , begreift fich 
ſchwer. Es ift, wie wenn Jemand eine Geldſumme lieber nac< halben 
Gulden als nach ganzen ausſprechen wollte. .
	        

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