Full text: Zeitschrift für das Gesamtschulwesen : mit besonderer Rücksicht auf die Methodik des Unterrichts - 2.1850 (6)

Ueber mathematiſchen Unterricht. 51 
ohne Reſt theilbar d. h. auch durch 8 theilbar ſein. Dividiren 
wir wirklich , ſo Anden „wir, daß der Ausdru>k re<ts keine ganze 
8. - feine iſt. Folglich iſt eine Potenz eines 
Bruches ſelbſt wieder ein Bruch oder die Wurzel aus einer 
ganzen Zahl iſt entweder eine ganze Zahl oder ſie exiſtirt arith- 
methiſ< gar nicht, Wir haben alſo eine neue Gattung von 
Zahlen nämlich ſolhe , welche kein angebbares Verhältniß zur 
Eins haben. Man nennt ſie Irrationalzahlen, 
5. Die Irrationalzahl VA hat -= obgleich ſie nicht exiſtirt 
oder realiſirt werden kann, do<h die Eigenſchaft daß (VA) = A 
iſt. Dieſer Eigenſchaft zu Folge liegt ſie zwiſchen zwei Zahlen 
a und a -+- 1 welche um 1 von einander verſchieden ſind. Es 
entſteht daher die Frage ob dieſe Grenzen nicht näher an einan- 
der gerüdt werden können, Bilden wir die Potenzen 
/ 1. m 9 m 3.m 4 m 
+9 G+) G6+5) +59)... 
ſo finden wir zulegt ein 5 von der Beſchaffenheit, daß | 
Zahl ſein kann, weil - 
 
(14 5)" Z Anber (a+ FD) 7a 
iſt. Auf dieſe Weiſe iſt 
AA LNB La CEL 
die Grenzen ſind alſo nur um 1! von einander entfernt, Da nun 
ß | 
ß fo groß angenommen werden kann als man will, ſo kann 
man auc< die Grenzen zwiſchen welchen eine Wurzel liegt ſo. 
nahe an einander rücken als man will, d. h. die Arithmetif lehrt 
ſtatt der Irrationalzahl eine Rationalzahl zu finden, welche bis 
zu einem beliebigen Grade der Genauigkeit dieſelbe Eigenſchaft 
als die Irrationalzahl hat, | 
. 
V A=a2-+ 060 
6. Da nun jede Zahl als Syſtemzahl auszudrücken ift, ſo 
erhalten wir folgende Auflöſung: 
 
4*
	        

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