DS SERRER - Decimalbrüche DE „TT = w-
Regeln der Diviſion in Einheiten der niederen 1 Ordnung und ſehen die Diviſion auf ve- .
eimalem Wege fort. 4:7 == 0,5714285..
40 Der 7. Theil von 40 Zehntel == 5 Zehntel,
3 Reſt 5 Zehntel == 50 Hundertel ; -der
“ 7. Theil von 50 Hundertel = 7 Huns-
Die Diviſion TÄd | dertel, Reſt 1 Hundertel == 10 Tau-
iſt hier am 7 jendtel 2c. Bei derartigen Diviſionen kön=
Beſten als eine “36 nen 2 Fälle eintreten: 1) Der Nenner
Theilungs- 28 des gewöhnlichen Bruches iſt ſo beſchaffen,
an 2? daß jeine Factoren nur 2 oder 5 ſind,
4 Einer 14 dann ſchließt die Diviſion "ab, oder der
== 40 Zehntel. 60 entſtandene Decimalbruch iſt ein endlicher
Maia oder vollſtändiger. 2) Der Nenner ent-
3% hält nur andere oder noc: andere Fac-
50 toren, dann kann (wie ſchon oben gezeigt
wurde) der Bruch in einen vollſtändigen
Decimalbruch nicht verwandelt werden ; man kann aber durch Sortſehung der Diviſion ſeinem
wahren erde jo nahe kommen, als man nur will, Z. B. < = 0, 35 = 0,33 38 5
100
= 0,3833 3 . Je een ich ſchreibe > = 0,3 oder 0,33 oder 0,3833, werfe ich
1000
1 5 oder -5<<< 5060 de8 wirklichen Werthes fort. Wie weit ein unvollſtändiger Decimal-
bruch forizuſeßen iſt, hängt vom Grade der Genauigkeit ab, der im concreten Falle ge-
wünj ein Bruch dargeſtellt wird, für die Stellenzahl maßgebend, Einem Centnerbruche werde ich
mehr Stellen geben als einem Pfſundbruche. Beträgt die erſte wegzulaſſende Stelle 5 oder
mehr als 5, ſo würde der Fehler über */2 der zuleht angegebenen Stelle betragen ; man
. verfleinert demnach den Fehler, wenn man in dieſem Falle die zuleßt angegebene Stelle
um eine Einheit erhöht. Der Fehler einer unvollſtändigen Decimalzahl muß
immer fleiner ſein als !/2 der zuleßt angegebenen Ordnung. Hat ein
unenvlicher Decimalbruch regelmäßig wiederkehrende Ziffern, ſo nennt man dieſe Periode
oder ſpricht von I1ſtelliger, 2ſtelliger oder » ſtelliger Periode. Zuweilen beginnt dieſe Periode
unmittelbar nach dem Decimalkomma, zuweilen gehen ihr eine oder mehrere Ziffern voran.
In lehterem Falle nennt man den Bruch einen unreinperiodiſchen. Auch dieſe Eigenthüm=
lichfeit hängt von dem Nenner des gewöhnlichen Bruches ab, aus welchem der Decimal-
bruch entſtanden iſt. Hat nämlich der Nenner keinen der Factoren 2 oder 5, ſo giebt er
einen reinperiodijhen, hat er deren, ſo giebt er einen unreinperiodiſchen, und zwar mit
joviel unreinen Stellen, als Factorenergänzungen zu 10 nothwendig ſind. So giebt
+ = 0,4285714.... 37 = 539535 des Factor3 3 wegen im Nenner einen un-
endlichen, der 2.2.2 einen unreinperiodiſchen mit 3 unreinen Stellen, nämlich: 0,208333....
Muß ein unendlicher Decimalbruch auch ein periodiſcher werden? Aller-
ding3. Dies ergiebt ſich aus folgender Betrachtung. Kehrt in der Diviſion bei Verwand=
lung eines gewöhnlichen Bruches in einen Decimalbruch ein Reſt wieder, ſo muß auch, da
der Divijor derjelbe bleibt, derſelbe Quotient, d. i. die Ziffer im Decimalbruche, wieder-
kehren. Da nun der Diviſor eine endliche Zahl iſt, ſo muß er auch eine endliche Anzahl
verſchiedener Reſte laſſen. Dadurch iſt die Wiederkehr bewieſen. Die höchſte Anzahl ver-
ſchiedener Reſte, die ein Diviſor läßt, iſt 1 weniger als er ſelbſt, folglich iſt die höchſt
mögliche Anzahl der Periodenſtellen, die entſtehen kann == Nenner des gewöhnlichen Bruches
--1. In der That geben Siebentel einen Gſtelligen, Neunzehntel einen 1 8ſtelligen Deci-
malbruch. Ferner ſolgt aus dieſer Betrachtung, daß ich aus der Periode eine8 Stamm=-
bruches die Berioden ſämmtlicher ächten Brüche von demſelben Nenner ableſen kann. Weiß
ich, daß ?/7 == 0,142857 .. ., ſo weiß ich, daß %7 = 0,4285714..., ?: = 0,2857142...,

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